Cursos do Blog - Mecânica

9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Exercícios básicos 

Exercício 1: resolução

m.g + F_N = m.v²/R
v_min => F_N = 0
m.g = m.(v_min)²/R

           
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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

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Exercícios básicos 

Exercício 2: resolução

F_at = m.v²/R ≤ μ.F_N m.v²/R ≤ μ.m.gv² ≤ μ.R.g

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Exercícios básicos 

Exercício 3: resolução

Na figura representamos as forças que agem no carro e a força resultante F_R que é centrípeta:

No triângulo sombreado temos:

tg θ = F_R/P = (m.v²/R)/m.g => tg θ = v²/R.g => 0,15 = v²/1500 =>
v = 15 m/s

Resposta: 15 m/s

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Exercícios básicos 

Exercício 4: resolução

Na figura representamos as forças que agem no avião e a força resultante F_R que é centrípeta:

P = m.g => P = 10.m e F_R = (m.v²/R) => F_R = m.[(40)²/120] => F_R = 40.m/3
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
 
F² = P² +(F_R)² => F² = 100.m² + 1600.m²/9 => F² = 2500.m²/9 => 
F = 50.m/3

Resposta: 50.m/3

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Exercícios básicos 

Exercício 5: resolução

a)

b)
P = F_at

P ≤ μ.F_N
m.g ≤ μ.m.ω².R 
ω² ≥ g/R.μ

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1: resolução

O carro realiza um movimento circular e uniforme. Sua aceleração é centrípeta. Esta possui módulo constante, direção radial e sentido apontando para o centro C.

Resposta: d

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 2: resolução

No triângulo sombreado temos:

tg α  = F_R/P = (m.v²/R)/m.g =>  tg α = v²/g.R => v = √(g.R.tg α)

Resposta: c

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 3: resolução

As forças que agem no veículo são o peso de módulo P = mg e a força normal de módulo F_N que é igual ao peso aparente, isto é, F_N = mg/5.

Assim, temos: 

F_resultante = m.a_cp => mg-mg/5 = m.v²/R => 
4mg/5 = m.v²/R => v² = 4gR/5 => v² = 4.10.50/5 => v = 20 m/s

Resposta: b

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 4: resolução

As forças que agem no coelho são: o peso P, a força normal F_N e a força de atrito F_at.

O peso  P e a força normal F_N se anulam. A força resultante é a força de atrito que é centrípeta. Como o exercício pede o coeficiente de atrito estático mínimo, concluímos que o coelho está na iminência de escorregar. Assim, temos:

F_at  = m.ω².R => μ.F_N = m.(2π/T)².R =>  μ.m.g = m.(2π/T)² .R
μ = 4.π².R/T².g => μ = 4.9.5/36.10_a
μ = 0,5

Resposta: b

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9ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas. Novos exercícios

Borges e Nicolau 

Revisão/Ex 5: resolução

As forças que agem no caminhão_asão: o peso P, a força normal F (exercida pela pista), a força F_N (exercida pelo muro), que é a resultante centrípeta e a força de atrito F_at entre o caminhão e o muro, que é a resultante tangencial.

F_at  = μ.F_N => F_at = μ.m.v²/R (1)

Mas F_at é a resultante tangencial, isto é, F_at = m.IαI (2)

De (1) e (2), vem:

m.IαI  = μ.m.v²/R => IαI = μ.v²/R => IαI  = 0,3.(20)²/90 =>
IαI = 4/3 m/s² ≅ 1,3 m/s²

Resposta: c

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Cursos do Blog - Eletricidade

8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 1: resolução 

a) C = Q/U => 2,0 µF = Q/12V => Q = 24 µC

b) E_pot = (Q.U)/2 => E_pot = (24 µC.12V)/2 => E_pot = 144 µJ

Respostas: a) 24 µC; b) 144 µJ

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 2: resolução 

A leitura do amperímetro ideal A₁ é, de acordo com a lei de Pouillet, dada por          

i = E/(r+R) => i = 24/(2 + 4) => i = 4 A

A leitura do amperímetro ideal A₂ é zero, pois estamos considerando o capacitor plenamente carregado.

A leitura do voltímetro ideal V é a tensão U no capacitor que é a mesma no resistor, com quem está ligado em paralelo.

U = R.i => U = 4.4 => U = 16 V

C = Q/U => 2,0 µF = Q/16V => Q = 32 µC

Respostas: 4 A; zero; 16 V; 32 µC

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 3: resolução

Como o capacitor está plenamente carregado, não passa corrente no circuito. Assim a tensão elétrica nos terminais do gerador é a própria força eletromotriz:

U = E = 6 V

Esta é também a tensão elétrica nos terminais do capacitor. Assim, temos:

C = Q/U => 1 nF = Q/6 V => Q = 6 nC

Resposta: 6 nC

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 4: resolução 

Pela lei de Pouillet podemos determinar a intensidade da corrente que percorre o circuito:

i = (E-E’)/(r+r’+R) => i = (24-6)/(2+1+6) => i = 2 A

A tensão elétrica nos terminais do capacitor é a mesma no resistor de 3 Ω com quem ele está em paralelo:

U = R. i => U = 3.2 => U = 6 V

A  carga elétrica e a energia potencial elétrica armazenada pelo capacitor são, respectivamente:

C = Q/U => 2 pF = Q/6V => Q = 12 pC 

E_pot = (Q.U)/2 => E_pot = (12 pC.6 V)/2 => E_pot = 36 pJ

Respostas: 12 pC; 36 pJ

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 5: resolução 

Trata-se de uma ponte de Wheatstone em equilíbrio. Isto significa que o capacitor não se carrega e portanto não armazena energia potencial elétrica:
 
Q = 0 e E_pot = 0

Respostas: zero e zero

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

Borges e Nicolau

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1: resolução

a) C = Q/U => 40µF = Q/40V => Q = 1600 µC => Q = 1,6.10^-3 C

b) E_pot = (Q.U)/2 => E_pot = (1,6. 10^-3C.40V)/2 => E_pot = 3,2.10^-2  J

Respostas: a) 1,6.10^-3 C; b) 3,2.10^-2 J

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 2: resolução

E_pot = (Q.U)/2 => E_pot = (C.U.U)/2 => E_pot = (C.U²)/2 => 
E_pot = (10μF.500V)²/2 => E_pot = (10.10^-6F.500V)²/2 => E_pot = 1,25 J

Resposta: e

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 3: resolução

Lei de Pouillet:

I = E/(r + R) => i = 10/(20 + 30) => i = 0,20 A

A ddp no capacitor é a mesma ddp no resistor de 30 Ω

U = R.i => U = 30.0,20 => U = 6,0 V
C = Q/U => 5,0µF = Q/6,0V => Q = 30 µC

Resposta: c

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 4: resolução

Lei de Pouillet:

I = E/(r + R) => i = 12/(1,0 + 2,0 + 3,0) => i = 2,0 A

A ddp no capacitor é a mesma ddp no resistor de 2,0 Ω

U = R.i => U = 2,0.2,0 => U = 4,0 V
C = Q/U => 7,0 µF = Q/4,0V => Q = 28 µC

Resposta: 28 µC

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8ª aula - 2º semestre
Capacitores. Capacitor num circuito elétrico

Borges e Nicolau

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 5: resolução

a) Chave aberta

A ddp no capacitor é igual a 30 V.

C = Q/U => 3 µF = Q/30V => Q = 90 µC

b) Chave fechada

Lei de Pouillet:

I = E/(R_p + R) => i = 30/(10 + 10) => i = 1,5 A

A ddp no capacitor é a mesma ddp no resistor de 10 Ω

U = R.i => U = 10.1,5 => U = 15 V
C = Q/U => 3 µF = Q/15V => Q = 45 µC

Respostas:
a) 90 μC
b) 45 μC

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8ª aula - 2º semestre
Equação de Gauss. Aumento linear transversal

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 1: resolução

a) São dados: p = 30 cm e f = 6 cm. Aplicando a equação de Gauss determinamos o valor de p’:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/6 = 1/30 + 1/p’ => 1/p’ = 1/6 -1/30 =>
1/p’ = (5-1)/30 => p’ = +7,5 cm.

A imagem se forma a uma distância de 7,5 cm do espelho.

b) Sendo p’ > 0, concluímos que a imagem é real

Respostas: a) 7,5 cm; b) real

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8ª aula - 2º semestre
Equação de Gauss. Aumento linear transversal

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 2: resolução

a) São dados: p = 30 cm e f = -6 cm. Aplicando a equação de Gauss determinamos o valor de p’:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/-6 = 1/30 + 1/p’ => 1/p’ = 1/-6 -1/30 =>
1/p’ = (-5-1)/30 => p’ = -5 cm.

A  imagem se forma a uma distância de 5 cm do espelho.

b) Sendo  p’ < 0, concluímos que a imagem é virtual

Respostas: a) 5 cm; b) virtual

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8ª aula - 2º semestre
Equação de Gauss. Aumento linear transversal

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 3: resolução

a) f = R/2 => f = 20/2 => f = 10 cm.

b) Sendo p’ = 30 cm e f = 10 cm, calculamos p pela equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/10 = 1/p + 1/30 => 1/p = 1/10 - 1/30 =>
1/p = (3-1)/30 => p = 15 cm

c) O aumento linear transversal é dado por:
A = -p’/p => A = - 30/15 => A = - 2: a imagem é invertida e tem altura igual a duas vezes a altura do objeto.

Respostas: a) 10 cm; b) 15 cm; c) -2

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8ª aula - 2º semestre
Equação de Gauss. Aumento linear transversal

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 4: resolução

Sendo o espelho convexo, temos: f = -15 cm.
A imagem é direita. Logo: i = o/3
A = i/o = -p’/p => A = (o/3)/o = -p’/p => 1/3 = -p’/p => p’ = -p/3 (1)
Equação de Gauss: 1/f = 1/p + 1/p’=> 1/-15 = 1/p + -3/p => p = 30 cm
De (1), vem: p’ = -10 cm.
O objeto está a 30 cm diante do espelho.
A imagem está “atrás” do espelho e a 10 cm.
Logo a distância entre o objeto e a imagem é de 40 cm

Resposta: 40 cm

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8ª aula - 2º semestre
Equação de Gauss. Aumento linear transversal

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 5: resolução

Distâncias focais dos espelhos:
côncavo: f = R/2 = 10 cm; convexo: f = -10 cm

Espelho côncavo:
1/f = 1/p + 1/p’ => 1/10 = 1/15 + 1/p’ => 1/p’ = 1/10 -1/15 =>
1/p’ = (3-2)/30 => p' = 30 cm: a imagem se forma a 30 cm do espelho, é real e situa-se na frente da face refletora do espelho.

Espelho convexo:
1/f = 1/p + 1/p’ => 1/-10 = 1/15 + 1/p’ => 1/p’ = 1/-10 -1/15 =>
1/p’ = (-3-2)/30 => p’ = - 6 cm: a imagem se forma a 6 cm do espelho, é virtual e situa-se “atrás” da face refletora do espelho.

Concluímos que as duas imagens estão do mesmo lado da calota esférica. Logo, a distância entre as duas imagens é igual a 30 cm - 6 cm = 24 cm

Confirme pela construção:

Resposta: 24 cm

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8ª aula - 2º semestre
Equação de Gauss. Aumento linear transversal

Borges e Nicolau 

Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 1: resolução

São dados: p = 90 cm e f = -10 cm (espelho convexo: f < 0). Aplicando a equação de Gauss determinamos o valor de p’:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/-10 = 1/90 + 1/p’ => 1/p’ = 1/-10 -1/90 =>
1/p’ = (-9-1)/90 => p’ = -9,0 cm.

A imagem se forma a uma distância de 9,0 cm do espelho e é virtual (p’ < 0).

Resposta: B

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8ª aula - 2º semestre
Equação de Gauss. Aumento linear transversal

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 2: resolução

a) x = 5t
Para t = 2 s ⇒ x = 10 cm
Assim, em t = 2 s o objeto estará a 40 cm do vértice do espelho, ou seja, ele estará antes do centro de curvatura C do espelho: a imagem é real, invertida e menor do que o objeto.

b) Para que a imagem se forme no infinito (imagem imprópria) o objeto deve se encontrar no foco F do espelho. Portanto, ele deverá percorrer 40 cm.

x = 5t => 40 = 5t => t = 8 s

c) x = 5t
Para t = 7 s ⇒ x = 35 cm
Assim, em t = 7 s o objeto estará a 15 cm do vértice do espelho, isto é,
p = 15 cm.
Sendo f = R/2 = 10 cm, podemos determinar a posição da imagem, aplicando a equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/10 = 1/15 + 1/p’ => 1/p’ = 1/10 - 1/15 =>
1/p’ = (3-2)/30 => p’ = 30 cm.

A imagem se forma a 30 cm do espelho e é real (p’ > 0).

O aumento linear transversal é dado por:
A = i/o = -p’/p => i/10 = -30/15 => i = - 20 cm: a imagem é invertida e tem altura igual a 20 cm.

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Equação de Gauss. Aumento linear transversal

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 3: resolução

Equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/q => 2/R = 1/p + 1/q => 1/q = 2/R - 1/p =>
1/q = (2p - R)/Rp => q = Rp/2p - R

Mas, pelo enunciado devemos ter:

p - q = R

p = R + q

p = R + Rp/(2p - R)

2p² - pR = 2pR - R² + Rp =>
2p² - 4pR + R² = 0

p = [4R  ±  √(16 R² - 4.2.R² /2)]/2.2 =>
p = (4R ± 2R√2/4)
p = R(1 ± √2/2)

Mas p = R + q, isto é p > R.
Logo, devemos considerar somente a raiz: p = R(1 + √2/2)

Resposta: a

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Equação de Gauss. Aumento linear transversal

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 4: resolução

O aumento linear transversal é dado por:

A = -p’/p => -3 = -p’/p => p’ = 3p (1)

Mas p’ - p = 20 cm (2)

De (1) e (2):

p = 10 cm e p’ = 30 cm

Resposta: c

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Equação de Gauss. Aumento linear transversal

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Exercícios de Revisão

Revisão/Ex 5: resolução

0 0 - Falsa. Esta situação só ocorre no espelho côncavo quando o objeto está sobre o centro de curvatura. Nos espelhos convexos a imagem de um objeto real é sempre virtual, direita e menor do que o objeto.
1 1 - Verdadeira. Nos espelhos convexos a imagem de um objeto real é sempre virtual.
2 2 - Verdadeira. O objeto está situado entre o centro de curvatura e o foco
3 3 - Verdadeira. objeto está situado antes do centro de curvatura e portanto a imagem é real. Somente as imagens reais podem ser projetadas em anteparos.
4 4 - Falsa. O objeto está situado entre o foco e o espelho. A imagem é virtual, direita e maior do que o objeto.

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8ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas

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Exercícios básicos

Exercício 1: resolução

As forças que agem no bloco são: o peso P, a força normal F_N e a força de tração T. O peso e a força normal se equilibram. A resultante é a força de tração. Ela é a resultante centrípeta.

T = m.v²/R => T = 0,4.(2)²/0,20 => T = 8 N
 
Resposta: 8 N

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8ª aula - 2º semestre
Forças em trajetórias curvilíneas

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Exercícios básicos

Exercício 2: resolução

As forças que agem no carro são: o peso P e a força normal F_N

A resultante centrípeta tem módulo F_N - P 

F_N - P = m.v²/R => F_N – 800.10 = 800.(20)²/100 => F_N = 11200 N
 
Resposta: 11200 N

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Forças em trajetórias curvilíneas

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Exercícios básicos

Exercício 3: resolução

As forças que agem no carro são: o peso P e a força normal F_N 

A resultante centrípeta tem módulo P - F_N 

P - F_N = m.v²/R => 800.10 - F_N = 800.(20)²/100 => F_N = 4800 N
 
Resposta: 4800 N

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